ใบงานครั้งที่ 3
การวัดแนวโน้มเข้าสู่ส่วนกลาง
การวัดแนวโน้มเข้าสู่ส่วนกลาง (Central Tendency) หมายถึง เป็นการหาค่ากลางของข้อมูลทั้งหมดว่าอยู่ที่ใด โดยใช้ค่ากลางบอกลักษณะของข้อมูล ทำให้ผู้ใช้สามารถทราบถึงการแจกแจงของข้อมูลเป็นอย่างไร
การวัดแนวโน้มเข้าสู่ส่วนกลางทำได้ 3 วิธีคือ
1. ค่าเฉลี่ย (Mean)
2. มัธยฐาน (Median)
3. ฐานนิยม (Mode)
ค่าเฉลี่ย (Mean) คือ เป็นการนำเอาค่าสังเกตทุกค่าที่ได้มารวมกัน แล้วหารด้วยจำนวนค่าสังเกตทั้งหมด
ข้อดีของค่าเฉลี่ยเลขคณิต
1. มีความสะดวกในการคำนวณ
2. ง่ายแก่การเข้าใจ เชื่อถือได้
3. นิยมใช้ค่าเฉลี่ยในการเปรียบเทียบข้อมูลเชิงปริมาณหลาย ๆ ชุด
4. มีได้ค่าเดียวสำหรับข้อมูลชุดหนึ่ง ๆ
ข้อเสียของค่าเฉลี่ยเลขคณิต
1. ใช้กับข้อมูลเชิงปริมาณเท่านั้น
2. ถ้าข้อมูลมีค่าผิดปกติ นั่นคือมีค่าสูงเกินไป หรือค่าต่ำเกินไป ค่าเฉลี่ยจะไม่ใช่ค่ากลางที่ดี
3 ถ้าการแจกแจงความถี่ของข้อมูลเป็นอันตรภาคชั้นเปิด ซึ่งอาจจะเป็นชั้นต่ำสุดหรือชั้นสูงสุดชั้นใดชั้นหนึ่งหรือทั้งสองชั้น จะไม่สามารถหาค่าเฉลี่ยได้
การหาค่าเฉลี่ยแบ่งเป็น 2 กรณี คือ
1. การหาค่าเฉลี่ยสำหรับข้อมูลที่ไม่ได้จัดกลุ่ม (Ungroup Data)
กรณีที่ทราบค่าข้อมูลทุกหน่วยในประชากร (เป็นการหา Population Mean)
ค่าเฉลี่ยประชากร โดยที่ Xi แทนค่าของข้อมูลที่ i
N แทนขนาดของประชากร
ตัวอย่างที่ 1 จำนวนลูกจ้างร้านขายยาทั้ง 5 แห่งมี 3 5 6 4 และ 6 คน ตามลำดับ จงหาจำนวนลูกจ้างเฉลี่ยของร้านขายยาทั้ง 5 แห่ง
วิธีทำ
กรณีที่ทราบค่าข้อมูลบางหน่วยในประชากร (เป็นการหา Sample Mean)
ค่าเฉลี่ยประชากร โดยที่ Xi แทนค่าของข้อมูลที่ i
n แทนขนาดของตัวอย่าง
ตัวอย่างที่ 2 ผู้ตรวจสอบอาหารได้ทำการสุ่มตัวอย่างอาหารกระป๋องยี่ห้อโรซ่ามาจำนวน 7 กระป๋องเพื่อหาสิ่งที่ไม่บริสุทธิ์ในอาหาร (หน่วย : เปอร์เซ็นต์) ข้อมูลที่บันทึกได้เป็นดังนี้
1.8 2.1 1.7 1.6 0.9 2.7 1.8
จงหาค่าเฉลี่ยของอาหารที่ไม่บริสุทธิ์
วิธีทำ
2. การหาค่าเฉลี่ยสำหรับข้อมูลที่จัดกลุ่ม (group Data)
2.1 กรณีที่ทราบค่าข้อมูลทุกหน่วยในประชากร (เป็นการหา Population Mean)
ค่าเฉลี่ยประชากร โดยที่ k แทนจำนวนชั้นในตารางแจกแจงความ
Xi แทนค่ากึ่งกลางของชั้นที่ i
fi แทนความถี่ของชั้นที่ i
N แทนขนาดของประชากร
2.2 กรณีที่ทราบค่าข้อมูลบางหน่วยในประชากร (เป็นการหา Sample Mean)
ค่าเฉลี่ยประชากร โดยที่ k แทนจำนวนชั้นในตารางแจกแจงความ
Xi แทนค่ากึ่งกลางของชั้นที่ i
fi แทนความถี่ของชั้นที่ i
n แทนขนาดของตัวอย่าง
ตัวอย่างที่ 4 จากการสำรวจหมู่บ้านเกษตรกรแห่งหนึ่ง ซึ่งเลี้ยงสุกรในจำนวนต่าง ๆ บันทึกจำนวนสุกรต่อครอบครัวดังนี้
จำนวนสุกรที่เลี้ยง | จำนวนครอบครัว |
0 - 4 | 14 |
5 – 9 | 18 |
10 – 16 | 11 |
17 – 25 | 5 |
26 - 30 | 2 |
อยากทราบว่าโดยเฉลี่ยแล้วหมู่บ้านนี้เลี้ยงสุกรครอบครัวละกี่ตัว
วิธีทำ
มัธยฐาน (Median) คือ ค่าของข้อมูลที่มีตำแหน่งอยู่ตรงกลางของชุดข้อมูล เมื่อนำข้อมูลมาเรียงจากน้อยไปหามาก หรือจากมากไปหาน้อย ดังนั้นจะมีข้อมูลอยู่ครึ่งหนึ่งน้อยกว่าค่ามัธยฐาน และข้อมูลอีกครึ่งหนึ่งมีมากกว่าค่ามัธยฐาน หรือเป็นการแบ่งความถี่ของข้อมูลออกเป็น 2 ส่วนเท่า ๆ กัน
ข้อดีของมัธยฐาน
1. ค่ามัธยฐานจะไม่ถูกกระทบกระเทือนเมื่อมีข้อมูลที่มีค่าผิดปกติ
2. ข้อมูลที่มีการแจกแจงแบบเบ้มาก ๆ ในบางครั้งอาจให้ค่าที่ถูกต้องมากกว่าค่าเฉลี่ย
3. ถ้าการแจกแจงความถี่ของข้อมูลเป็นอันตรภาคชั้นเปิด ซึ่งอาจจะเป็นชั้นต่ำสุด หรือชั้นสูงสุด ชั้นใดชั้นหนึ่งหรือทั้งสองชั้น จะสามารถหามัธยฐานได้
4. ใช้ได้ทั้งข้อมูลเชิงปริมาณและข้อมูลเชิงคุณภาพแบบสเกลอันดับ (Ordinal scale)
ข้อเสียของมัธยฐาน ไม่ได้ใช้ข้อมูลทุกค่าในการคำนวณ
การหาค่ามัธยฐานแบ่งเป็น 2 กรณี คือ
1. การหามัธยฐานสำหรับข้อมูลที่ไม่ได้จัดกลุ่ม (Ungroup Data)
1.1 จำนวนข้อมูลเป็นเลขคี่ (n เป็นเลขคี่)
ขั้นที่ 1 เรียงลำดับข้อมูลจากน้อยไปหามาก หรือจากมากไปหาน้อย
ขั้นที่ 2 ค่ามัธยฐาน คือค่าของข้อมูลที่อยู่ตำแหน่ง หรือตำแหน่งกึ่งกลาง
ตัวอย่างที่ 5 ภัตตาคารเจ้าพระยาได้ทำการจดบันทึกลูกค้าที่เข้ามารับประทานอาหารเย็นเป็นจำนวน 15 วัน ดังนี้
40 52 55 58 40 48 56 56
60 37 58 63 46 50 61
จงหาค่ามัธยฐานของจำนวนลูกค้าที่เข้ามารับประทานอาหารเย็น
วิธีทำ
1.2 จำนวนข้อมูลเป็นเลขคู่ (n เป็นเลขคู่)
ขั้นที่ 1 เรียงลำดับข้อมูลจากน้อยไปหามาก หรือจากมากไปหาน้อย
ขั้นที่ 2 ค่ามัธยฐาน คือค่าเฉลี่ยของข้อมูลที่อยู่ตำแหน่ง และตำแหน่ง หรือ
เป็นการนำข้อมูลที่อยู่ระหว่างตำแหน่งกึ่งกลางทั้ง 2 ตัว มารวมกัน แล้วหารด้วย 2
ตัวอย่างที่ 6 น้ำหนักของเด็กแรกเกิด (หน่วย : กิโลกรัม) จำนวน 10 คน ที่โรงพยาบาลเวชธานีเป็นดังนี้
4.0 3.5 4.5 3.7 3.0 3.6 3.1 2.8 3.6 3.5
จงหาค่ามัธยฐานของน้ำหนักของเด็กแรกเกิด
วิธีทำ
2. การหามัธยฐานสำหรับข้อมูลที่จัดกลุ่ม (Group Data)
จะต้องเรียงลำดับข้อมูลข้อมูลที่จัดกลุ่มจากน้อยไปหามาก ชั้นที่มีค่ามัธยฐานอยู่คือ ชั้นแรกที่มีความถี่สะสม () มากกว่า ซึ่งสามารถหามัธยฐานได้โดยใช้สูตร ดังนี้
Median =
โดยที่ L คือ ขอบเขตจำกัดล่างของชั้นที่มีค่ามัธยฐานอยู่ à L = ขีดจำกัดล่าง – 0.5
คือ ความถี่สะสมของชั้นก่อนที่มีมัธยฐานอยู่
คือ ความถี่ของชั้นที่มีมัธยฐานอยู่
I คือ ความกว้างของชั้น
ตัวอย่างที่ 7 จำนวนวันที่ฝนตกในวิทยาลัยกรุงเทพธนบุรี เป็นจำนวน 65 เดือน ดังแสดงในตาราง
จำนวนวันที่ฝนตก | จำนวนเดือน |
น้อยกว่า 5 | 4 |
5 – 7 | 5 |
8 – 10 | 9 |
11 – 13 | 12 |
14 – 16 | 18 |
17 – 19 | 13 |
20 – 22 | 3 |
มากกว่า 22 | 1 |
จงหาค่ามัธยฐานของจำนวนวันที่ฝนตกใน 65 เดือน
วิธีทำ
จำนวนวันที่ฝนตก | จำนวนเดือน | ความถี่สะสม |
น้อยกว่า 5 | 4 | |
5 – 7 | 5 | |
8 – 10 | 9 | |
11 – 13 | 12 | |
14 – 16 | 18 | |
17 – 19 | 13 | |
20 – 22 | 3 | |
มากกว่า 22 | 1 | |
รวม | | |
ฐานนิยม (Mode) คือ ค่าของข้อมูลที่เกิดขึ้นบ่อยที่สุด หรือมีความถี่สูงสุด ข้อมูลแต่ละชุดไม่จำเป็นต้องมีค่าฐานนิยมเสมอไป ถ้าข้อมูลนั้นไม่มีเลขใดที่มีความถี่สูงสุดของการเกิดขึ้นบ่อยกว่าเลขอื่น ๆ ข้อมูลชุดหนึ่งอาจมีฐานนิยมมากกว่า 1 ค่า
ข้อดีของฐานนิยม
1. ค่าฐานนิยมจะไม่ถูกกระทบกระเทือนเมื่อมีข้อมูลที่มีค่าผิดปกติ
2. ถ้าข้อมูลเป็นเชิงคุณภาพแบบสเกลนามบัญญัติ (Norminal scale) จะสามารถหาค่ากลางได้เฉพาะฐานนิยมนั้น แต่ไม่สามารถหาค่าเฉลี่ย หรือมัธยฐาน
ข้อเสียของฐานนิยม
1. ถ้าข้อมูลไม่ซ้ำกัน จะไม่มีค่าฐานนิยม
2.ค่าฐานนิยมอาจจะมีมากกว่า 1 ค่า สำหรับข้อมูลชุดหนึ่ง ๆ โดยที่ค่าฐานนิยมนั้นอาจแตกต่างกันมากได้
3. ในกรณีที่เป็นข้อมูลที่จัดกลุ่มแล้ว ค่าฐานนิยมจะเปลี่ยนแปลงไป ถ้าการจำแนกชั้นเปลี่ยนแปลงไป
การหาค่าฐานนิยม แบ่งเป็น 2 กรณี คือ
1. การหาฐานนิยมสำหรับข้อมูลที่ไม่ได้จัดกลุ่ม (Ungroup Data)
ฐานนิยม คือ ค่าของข้อมูลที่เกิดขึ้นบ่อยครั้งที่สุด หรือมีความถี่สูงสุด
ตัวอย่างที่ 8 ข้อสอบแบบถูก-ผิด มีทั้งหมด 20 ข้อ สุ่มนักศึกษามา 16 คน เพื่อทำข้อสอบดังกล่าว เพื่อทำข้อสอบดังกล่าว พบว่านักศึกษาทำข้อสอบผิดเป็นจำนวนข้อดังนี้
2 1 3 0 1 3 6 0
3 3 5 2 1 4 2 0
จงหาฐานนิยม
วิธีทำ
2. การหาฐานนิยมสำหรับข้อมูลที่จัดกลุ่ม (Group Data)
ฐานนิยมจะอยู่ในชั้นที่มีความถี่สูงสุด โดยมีสูตรดังนี้
Mode =
โดยที่ L คือ ขอบเขตจำกัดล่างของชั้นที่ฐานนิยมอยู่ (ชั้นที่มีความถี่สูงสุด) à L = ขีดจำกัดล่าง – 0.5
คือ ผลต่างของความถี่ของชั้นที่ฐานนิยมอยู่กับความถี่ของชั้นต่ำกว่า (ชั้นก่อนหน้า)
คือ ผลต่างของความถี่ของชั้นที่ฐานนิยมอยู่กับความถี่ของชั้นสูงกว่า (ชั้นถัดลงมา)
I คือ ความกว้างของชั้น
ตัวอย่างที่ 9 จากการสำรวจอายุของผู้ป่วยโรคเอดส์ที่เข้ารับการรักษาที่โรงพยาบาลสินแพทย์บันทึกผลการสำรวจได้ข้อมูลดังตารางต่อไปนี้
อายุ (ปี) | จำนวน |
0 – 9 | 2 |
10 – 19 | 4 |
20 – 29 | 16 |
30 – 39 | 18 |
40 – 49 | 11 |
50 – 59 | 5 |
60 – 69 | 3 |
70 – 79 | 1 |
อยากทราบว่าผู้ป่วยส่วนใหญ่มีอายุเท่าไร
วิธีทำ
แบบฝึกหัดครั้งที่ 3
1. ร้านอาหารขายอาหารใน 7 วันที่ผ่านมา ขายเสื้อผ้าได้ดังนี้ 300 , 2,000, 500 , 1,500, 1,700 ,500 และ 100 บาท จงคำนวณหาค่าเฉลี่ยของรายได้จากการขายอาหารของร้านนี้
2. ค่ามัธยฐานของข้อมูลในข้อ 1 คือค่าใด
3. ร้านขายขนม 9 แห่งติดราคาขายขนมดังนี้ 3, 5, 4, 3 , 5 , 3 ,4 ,4 และ 4 บาท จงหา ฐานนิยมของราคา
จากข้อมูลต่อไปนี้จงตอบข้อ 4 - 6
คะแนนสอบของนักศึกษาวิชาสถิติเบื้องต้นเป็นดังนี้
คะแนนสอบ | จำนวนนักศึกษา |
30 – 39 | 9 |
40 – 49 | 32 |
50 – 59 | 43 |
60 – 69 | 21 |
70 – 79 | 11 |
80 – 89 | 3 |
90 – 99 | 1 |
จงหา
4. ค่าเฉลี่ยเลขคณิต
5. ค่ามัธยฐาน
6. ค่าฐานนิยม
ไม่มีความคิดเห็น:
แสดงความคิดเห็น