วันอาทิตย์ที่ 12 เมษายน พ.ศ. 2552

::::ใบงานครั้งที่ 3 การวัดแนวโน้มเข้าสู่ส่วนกลาง::::

ใบงานครั้งที่ 3

การวัดแนวโน้มเข้าสู่ส่วนกลาง

การวัดแนวโน้มเข้าสู่ส่วนกลาง (Central Tendency) หมายถึง เป็นการหาค่ากลางของข้อมูลทั้งหมดว่าอยู่ที่ใด โดยใช้ค่ากลางบอกลักษณะของข้อมูล ทำให้ผู้ใช้สามารถทราบถึงการแจกแจงของข้อมูลเป็นอย่างไร

การวัดแนวโน้มเข้าสู่ส่วนกลางทำได้ 3 วิธีคือ

1. ค่าเฉลี่ย (Mean)

2. มัธยฐาน (Median)

3. ฐานนิยม (Mode)

ค่าเฉลี่ย (Mean) คือ เป็นการนำเอาค่าสังเกตทุกค่าที่ได้มารวมกัน แล้วหารด้วยจำนวนค่าสังเกตทั้งหมด

ข้อดีของค่าเฉลี่ยเลขคณิต

1. มีความสะดวกในการคำนวณ

2. ง่ายแก่การเข้าใจ เชื่อถือได้

3. นิยมใช้ค่าเฉลี่ยในการเปรียบเทียบข้อมูลเชิงปริมาณหลาย ๆ ชุด

4. มีได้ค่าเดียวสำหรับข้อมูลชุดหนึ่ง ๆ

ข้อเสียของค่าเฉลี่ยเลขคณิต

1. ใช้กับข้อมูลเชิงปริมาณเท่านั้น

2. ถ้าข้อมูลมีค่าผิดปกติ นั่นคือมีค่าสูงเกินไป หรือค่าต่ำเกินไป ค่าเฉลี่ยจะไม่ใช่ค่ากลางที่ดี

3 ถ้าการแจกแจงความถี่ของข้อมูลเป็นอันตรภาคชั้นเปิด ซึ่งอาจจะเป็นชั้นต่ำสุดหรือชั้นสูงสุดชั้นใดชั้นหนึ่งหรือทั้งสองชั้น จะไม่สามารถหาค่าเฉลี่ยได้

การหาค่าเฉลี่ยแบ่งเป็น 2 กรณี คือ

1. การหาค่าเฉลี่ยสำหรับข้อมูลที่ไม่ได้จัดกลุ่ม (Ungroup Data)

กรณีที่ทราบค่าข้อมูลทุกหน่วยในประชากร (เป็นการหา Population Mean)

ค่าเฉลี่ยประชากร โดยที่ Xi แทนค่าของข้อมูลที่ i

N แทนขนาดของประชากร

ตัวอย่างที่ 1 จำนวนลูกจ้างร้านขายยาทั้ง 5 แห่งมี 3 5 6 4 และ 6 คน ตามลำดับ จงหาจำนวนลูกจ้างเฉลี่ยของร้านขายยาทั้ง 5 แห่ง

วิธีทำ

กรณีที่ทราบค่าข้อมูลบางหน่วยในประชากร (เป็นการหา Sample Mean)

ค่าเฉลี่ยประชากร โดยที่ Xi แทนค่าของข้อมูลที่ i

n แทนขนาดของตัวอย่าง

ตัวอย่างที่ 2 ผู้ตรวจสอบอาหารได้ทำการสุ่มตัวอย่างอาหารกระป๋องยี่ห้อโรซ่ามาจำนวน 7 กระป๋องเพื่อหาสิ่งที่ไม่บริสุทธิ์ในอาหาร (หน่วย : เปอร์เซ็นต์) ข้อมูลที่บันทึกได้เป็นดังนี้

1.8 2.1 1.7 1.6 0.9 2.7 1.8

จงหาค่าเฉลี่ยของอาหารที่ไม่บริสุทธิ์

วิธีทำ

2. การหาค่าเฉลี่ยสำหรับข้อมูลที่จัดกลุ่ม (group Data)

2.1 กรณีที่ทราบค่าข้อมูลทุกหน่วยในประชากร (เป็นการหา Population Mean)

ค่าเฉลี่ยประชากร โดยที่ k แทนจำนวนชั้นในตารางแจกแจงความ

Xi แทนค่ากึ่งกลางของชั้นที่ i

fi แทนความถี่ของชั้นที่ i

N แทนขนาดของประชากร

2.2 กรณีที่ทราบค่าข้อมูลบางหน่วยในประชากร (เป็นการหา Sample Mean)

ค่าเฉลี่ยประชากร โดยที่ k แทนจำนวนชั้นในตารางแจกแจงความ

Xi แทนค่ากึ่งกลางของชั้นที่ i

fi แทนความถี่ของชั้นที่ i

n แทนขนาดของตัวอย่าง

ตัวอย่างที่ 4 จากการสำรวจหมู่บ้านเกษตรกรแห่งหนึ่ง ซึ่งเลี้ยงสุกรในจำนวนต่าง ๆ บันทึกจำนวนสุกรต่อครอบครัวดังนี้

จำนวนสุกรที่เลี้ยง

จำนวนครอบครัว

0 - 4

14

5 9

18

10 16

11

17 25

5

26 - 30

2

อยากทราบว่าโดยเฉลี่ยแล้วหมู่บ้านนี้เลี้ยงสุกรครอบครัวละกี่ตัว

วิธีทำ

มัธยฐาน (Median) คือ ค่าของข้อมูลที่มีตำแหน่งอยู่ตรงกลางของชุดข้อมูล เมื่อนำข้อมูลมาเรียงจากน้อยไปหามาก หรือจากมากไปหาน้อย ดังนั้นจะมีข้อมูลอยู่ครึ่งหนึ่งน้อยกว่าค่ามัธยฐาน และข้อมูลอีกครึ่งหนึ่งมีมากกว่าค่ามัธยฐาน หรือเป็นการแบ่งความถี่ของข้อมูลออกเป็น 2 ส่วนเท่า ๆ กัน

ข้อดีของมัธยฐาน

1. ค่ามัธยฐานจะไม่ถูกกระทบกระเทือนเมื่อมีข้อมูลที่มีค่าผิดปกติ

2. ข้อมูลที่มีการแจกแจงแบบเบ้มาก ๆ ในบางครั้งอาจให้ค่าที่ถูกต้องมากกว่าค่าเฉลี่ย

3. ถ้าการแจกแจงความถี่ของข้อมูลเป็นอันตรภาคชั้นเปิด ซึ่งอาจจะเป็นชั้นต่ำสุด หรือชั้นสูงสุด ชั้นใดชั้นหนึ่งหรือทั้งสองชั้น จะสามารถหามัธยฐานได้

4. ใช้ได้ทั้งข้อมูลเชิงปริมาณและข้อมูลเชิงคุณภาพแบบสเกลอันดับ (Ordinal scale)

ข้อเสียของมัธยฐาน ไม่ได้ใช้ข้อมูลทุกค่าในการคำนวณ

การหาค่ามัธยฐานแบ่งเป็น 2 กรณี คือ

1. การหามัธยฐานสำหรับข้อมูลที่ไม่ได้จัดกลุ่ม (Ungroup Data)

1.1 จำนวนข้อมูลเป็นเลขคี่ (n เป็นเลขคี่)

ขั้นที่ 1 เรียงลำดับข้อมูลจากน้อยไปหามาก หรือจากมากไปหาน้อย

ขั้นที่ 2 ค่ามัธยฐาน คือค่าของข้อมูลที่อยู่ตำแหน่ง หรือตำแหน่งกึ่งกลาง

ตัวอย่างที่ 5 ภัตตาคารเจ้าพระยาได้ทำการจดบันทึกลูกค้าที่เข้ามารับประทานอาหารเย็นเป็นจำนวน 15 วัน ดังนี้

40 52 55 58 40 48 56 56

60 37 58 63 46 50 61

จงหาค่ามัธยฐานของจำนวนลูกค้าที่เข้ามารับประทานอาหารเย็น

วิธีทำ

1.2 จำนวนข้อมูลเป็นเลขคู่ (n เป็นเลขคู่)

ขั้นที่ 1 เรียงลำดับข้อมูลจากน้อยไปหามาก หรือจากมากไปหาน้อย

ขั้นที่ 2 ค่ามัธยฐาน คือค่าเฉลี่ยของข้อมูลที่อยู่ตำแหน่ง และตำแหน่ง หรือ

เป็นการนำข้อมูลที่อยู่ระหว่างตำแหน่งกึ่งกลางทั้ง 2 ตัว มารวมกัน แล้วหารด้วย 2

ตัวอย่างที่ 6 น้ำหนักของเด็กแรกเกิด (หน่วย : กิโลกรัม) จำนวน 10 คน ที่โรงพยาบาลเวชธานีเป็นดังนี้

4.0 3.5 4.5 3.7 3.0 3.6 3.1 2.8 3.6 3.5

จงหาค่ามัธยฐานของน้ำหนักของเด็กแรกเกิด

วิธีทำ

2. การหามัธยฐานสำหรับข้อมูลที่จัดกลุ่ม (Group Data)

จะต้องเรียงลำดับข้อมูลข้อมูลที่จัดกลุ่มจากน้อยไปหามาก ชั้นที่มีค่ามัธยฐานอยู่คือ ชั้นแรกที่มีความถี่สะสม () มากกว่า ซึ่งสามารถหามัธยฐานได้โดยใช้สูตร ดังนี้

Median =

โดยที่ L คือ ขอบเขตจำกัดล่างของชั้นที่มีค่ามัธยฐานอยู่ à L = ขีดจำกัดล่าง 0.5

คือ ความถี่สะสมของชั้นก่อนที่มีมัธยฐานอยู่

คือ ความถี่ของชั้นที่มีมัธยฐานอยู่

I คือ ความกว้างของชั้น

ตัวอย่างที่ 7 จำนวนวันที่ฝนตกในวิทยาลัยกรุงเทพธนบุรี เป็นจำนวน 65 เดือน ดังแสดงในตาราง

จำนวนวันที่ฝนตก

จำนวนเดือน

น้อยกว่า 5

4

5 7

5

8 10

9

11 13

12

14 16

18

17 19

13

20 22

3

มากกว่า 22

1

จงหาค่ามัธยฐานของจำนวนวันที่ฝนตกใน 65 เดือน

วิธีทำ

จำนวนวันที่ฝนตก

จำนวนเดือน

ความถี่สะสม

น้อยกว่า 5

4


5 7

5


8 10

9


11 13

12


14 16

18


17 19

13


20 22

3


มากกว่า 22

1


รวม



ฐานนิยม (Mode) คือ ค่าของข้อมูลที่เกิดขึ้นบ่อยที่สุด หรือมีความถี่สูงสุด ข้อมูลแต่ละชุดไม่จำเป็นต้องมีค่าฐานนิยมเสมอไป ถ้าข้อมูลนั้นไม่มีเลขใดที่มีความถี่สูงสุดของการเกิดขึ้นบ่อยกว่าเลขอื่น ๆ ข้อมูลชุดหนึ่งอาจมีฐานนิยมมากกว่า 1 ค่า

ข้อดีของฐานนิยม

1. ค่าฐานนิยมจะไม่ถูกกระทบกระเทือนเมื่อมีข้อมูลที่มีค่าผิดปกติ

2. ถ้าข้อมูลเป็นเชิงคุณภาพแบบสเกลนามบัญญัติ (Norminal scale) จะสามารถหาค่ากลางได้เฉพาะฐานนิยมนั้น แต่ไม่สามารถหาค่าเฉลี่ย หรือมัธยฐาน

ข้อเสียของฐานนิยม

1. ถ้าข้อมูลไม่ซ้ำกัน จะไม่มีค่าฐานนิยม

2.ค่าฐานนิยมอาจจะมีมากกว่า 1 ค่า สำหรับข้อมูลชุดหนึ่ง ๆ โดยที่ค่าฐานนิยมนั้นอาจแตกต่างกันมากได้

3. ในกรณีที่เป็นข้อมูลที่จัดกลุ่มแล้ว ค่าฐานนิยมจะเปลี่ยนแปลงไป ถ้าการจำแนกชั้นเปลี่ยนแปลงไป

การหาค่าฐานนิยม แบ่งเป็น 2 กรณี คือ

1. การหาฐานนิยมสำหรับข้อมูลที่ไม่ได้จัดกลุ่ม (Ungroup Data)

ฐานนิยม คือ ค่าของข้อมูลที่เกิดขึ้นบ่อยครั้งที่สุด หรือมีความถี่สูงสุด

ตัวอย่างที่ 8 ข้อสอบแบบถูก-ผิด มีทั้งหมด 20 ข้อ สุ่มนักศึกษามา 16 คน เพื่อทำข้อสอบดังกล่าว เพื่อทำข้อสอบดังกล่าว พบว่านักศึกษาทำข้อสอบผิดเป็นจำนวนข้อดังนี้

2 1 3 0 1 3 6 0

3 3 5 2 1 4 2 0

จงหาฐานนิยม

วิธีทำ

2. การหาฐานนิยมสำหรับข้อมูลที่จัดกลุ่ม (Group Data)

ฐานนิยมจะอยู่ในชั้นที่มีความถี่สูงสุด โดยมีสูตรดังนี้

Mode =

โดยที่ L คือ ขอบเขตจำกัดล่างของชั้นที่ฐานนิยมอยู่ (ชั้นที่มีความถี่สูงสุด) à L = ขีดจำกัดล่าง 0.5

คือ ผลต่างของความถี่ของชั้นที่ฐานนิยมอยู่กับความถี่ของชั้นต่ำกว่า (ชั้นก่อนหน้า)

คือ ผลต่างของความถี่ของชั้นที่ฐานนิยมอยู่กับความถี่ของชั้นสูงกว่า (ชั้นถัดลงมา)

I คือ ความกว้างของชั้น

ตัวอย่างที่ 9 จากการสำรวจอายุของผู้ป่วยโรคเอดส์ที่เข้ารับการรักษาที่โรงพยาบาลสินแพทย์บันทึกผลการสำรวจได้ข้อมูลดังตารางต่อไปนี้

อายุ (ปี)

จำนวน

0 9

2

10 19

4

20 29

16

30 39

18

40 49

11

50 59

5

60 69

3

70 79

1

อยากทราบว่าผู้ป่วยส่วนใหญ่มีอายุเท่าไร

วิธีทำ

แบบฝึกหัดครั้งที่ 3

1. ร้านอาหารขายอาหารใน 7 วันที่ผ่านมา ขายเสื้อผ้าได้ดังนี้ 300 , 2,000, 500 , 1,500, 1,700 ,500 และ 100 บาท จงคำนวณหาค่าเฉลี่ยของรายได้จากการขายอาหารของร้านนี้

2. ค่ามัธยฐานของข้อมูลในข้อ 1 คือค่าใด

3. ร้านขายขนม 9 แห่งติดราคาขายขนมดังนี้ 3, 5, 4, 3 , 5 , 3 ,4 ,4 และ 4 บาท จงหา ฐานนิยมของราคา

จากข้อมูลต่อไปนี้จงตอบข้อ 4 - 6

คะแนนสอบของนักศึกษาวิชาสถิติเบื้องต้นเป็นดังนี้

คะแนนสอบ

จำนวนนักศึกษา

30 39

9

40 49

32

50 59

43

60 69

21

70 79

11

80 89

3

90 99

1

จงหา

4. ค่าเฉลี่ยเลขคณิต

5. ค่ามัธยฐาน

6. ค่าฐานนิยม

ไม่มีความคิดเห็น:

แสดงความคิดเห็น

แสดงความคิดเห็น